"Idź na całość", czyli program, którzy mogą pamiętać dzieciaki z lat 90' emitowany w Polsce jako kopia programu "Let's make a deal" z USA. W finałowym etapie rozgrywki gracz był stawiany przed wyborem trzech bramek, w jednej z nich była ukryta nagroda w postaci samochodu, natomiast wybór pozostałych dwóch oznaczał brak głównej nagrody (w zależności od wersji były tam ukryte różne rzeczy, w wersji polskiej był to kot w worku zwany "Zonk"). Kiedy dokonano wyboru numeru bramki, następowało odsłonięcie jednej z niewybranych bramek, zawsze pustej. Gracz wtedy był stawiany przed dodatkowym wyborem, zostać przy swoim pierwotnym wyborze, czy może zmienić decyzję i wybrać drugą nieodsłoniętą jeszcze bramkę. Wybór, który na pierwszy rzut oka pozostawia nas w sytuacji 50:50, okazuje się złudny, a z punktu widzenia matematyki zawsze powinniśmy dokonać zmiany decyzji, gdyż podwajamy w tym wypadku szansę na wygraną.

Dlaczego tak jest? Otóż odpowiedź wydaje się intuicyjnie prosta, kiedy powiększymy liczbę drzwi do np. 100. Jeżeli mielibyście wybrać drzwi 1/100, to w zasadzie z góry większość może założyć, że raczej (na 99%) trafi drzwi bez nagrody. W takim wypadku po odsłonięciu 98 pustych drzwi stajemy przed wyborem, czy nasz pierwotny wybór był słuszny i wskazaliśmy faktycznie drzwi z nagrodą, albo co bardziej prawdopodobne wskazaliśmy pierwotnie drzwi puste, więc drogą eliminacji drugimi pozostałymi drzwiami spośród tych 100 będą drzwi z nagrodą.
Pamiętam też, że w czasach emisji programu przed telewizorem potrafiły się toczyć niemałe gównoburze o to, czy bramkę należy zmienić, czy zostawić — z reguły popierane jakże moim ulubiony dowodem anegdotycznym w postaci ocenienia szans post factum (po odsłonięciu wszystkich bramek, gdy gra się już skończyła). Gdyby w tamtym czasie istniała Rambla, mogę dość łatwo przewidzieć, co by się działo w komentarzach...

Co więcej zastosowanie przepływu (odwrócenia) prawdopodobieństwa nie ma znaczenia tylko w bramkach, ale dokładnie wszędzie tam, gdzie zajdą 3 warunki:
1. Pierwotny wybór jest dokonywany przy równym rozłożeniu prawdopodobieństwa
2. Następuje redukcja do dwóch wyborów, odrzucane nie są losowe wybory, ale te o których wiadomo, że są przegrywające (jest to ważna informacja, która jest pomijana i sprawia, że paradoks jest tylko pozorny)
3. Dopiero teraz można zdecydować, czy chcemy zostać przy naszym pierwotnym wyborze (zakładamy mało logiczną hipotezę, iż trafiliśmy za pierwszym razem), czy chcemy dokonać zmiany wyboru.

Problem o tyle, że dziś może wydawać się prosty, kiedyś taki nie był. Kilku znamienitych matematyków przez lata odmawiało uznania nawet bardziej formalnych dowodów w sensie dowodowości stricte matematycznej. Wśród nich był między innymi węgierski matematyk Paul Erdős, zajmujący się kombinatoryką i teorią liczb, który napisał w dziedzinie którą się zajmował ponad 1500 artykułów naukowych. Przekonały go dopiero symulacje komputerowe, które ujrzał na własne oczy.

Bonus - link do symulatora, gdzie można zasymulować np. 100 prób: https://www.mathwarehouse.com/monty-hall-simulation-online/