Weźmy dowolną liczbę składającą się z czterech cyfr ABCD, ale taką, która NIE spełnia zależności A = B = C = D. Wykonamy dla niej następujący algorytm:

1. Zapisz cyfry malejąco (od największej do najmniejszej)
2. Zapisz cyfry rosnąco (od najmniejszej do największej)
3. Odejmij liczbę 2. od 1. i zapisz wynik
4. Dla wyniku z punktu 3. powtórz kroki od punktu 1.

Prześledźmy ten algorytm na dwóch przykładach, 3141 oraz 1000

1. 4311-1134=3177
2. 7731-1377=6354
3. 6543-3456=3087
4. 8730-0378=8352
5. 8532-2358=6174

Docierając do liczby, która zawiera w jakiejkolwiek konfiguracji cyfry 1, 4, 6 oraz 7 już zawsze pozostaniemy w pętli zwrotnej, gdyż różnica z obu sortowań da nam dokładnie te same cyfry: 7641-1467=6174...

1. 1000-0001=0999
2. 9990-0999=8991
3. 9981-1899=8082
4. 8820-0288=8532
5. 8532-2358=6174

I co ciekawe nieważne, jaką liczbą ABCD rozpoczniemy, to stosując powyższy algorytm, zawsze skończymy na liczbie 6174. Odkrywcą tej zależności był Dattathreya Ramachandra Kaprekar, indyjski matematyk z małej wioski, który nigdy nie uzyskał formalnego stopnia naukowego, jednak w wielkim stopniu przyczynił się do rozwoju matematyki z zakresu między innymi teorii liczb. W skrajnym przypadku powyższy algorytm będzie musiał być wykonany siedmiokrotnie, żeby dojść do liczby 6174. Algorytm Kaprekara można zastosować też do liczb o innej liczbie cyfr, jednak tylko liczby 3 oraz 4 cyfrowe posiadają jeden stały punkt (zwany studnią Kaprekara), do którego powyższa metoda numeryczna jest zbieżna. W innych przypadkach istnieją albo cykle, np. w przypadku liczb 2 cyfrowych każdy przypadek zakończy się cyklem 09 -> 81 -> 63 -> 27 -> 45 -> 09, albo mieszanką cyklów lub studni. Powoduje to, że liczby 3 oraz 4 cyfrowe są w pewnym sensie wyjątkowe. Choć możliwe, że zależność ta wygląda na losową, to nie do końca taka jest i można to udowodnić, o czym napiszę na końcu. Przede wszystkim zauważmy, że górny limit siedmiu kroków nie do końca powinien dziwić. 4378, czy 8437, czy jakakolwiek inna premutacja cyfr w tej liczbie nie ma znaczenia, gdyż posortowane dadzą ten sam przypadek. Bardzo ogranicza to w praktyce liczbę możliwości, jakie trzeba przeanalizować.

Stała Kaprekara, choć wydaje się dość abstrakcyjna, to jednak ma pewne praktyczne zastosowania. Według wikipedii¹ służy do generowania liczb losowych w kryptografii, a schemat operacji prowadzący do stałej może być użyty w szukaniu liczb pierwszych. Szczerze nie wiem, co autor miał na myśli, gdyż fragment ten nie powołuje się na żadne naukowe źródła. Możliwe, że chodziło o tak zwane generatory CSPRNG (ang. Cryptographically Secure Pseudo-Random Number Generator), gdzie liczby generowane przy użyciu stałej Kaprekara ciągle są pseudolosowe, ale dostatecznie dobre z punktu widzenia kryptografii. Jednak ponieważ nigdy nie słyszałem o udziale stałej Kaprekara w generowaniu liczb losowych czy szukaniu liczb pierwszych schematem Kaprekara, a nie jestem w stanie tego też potwierdzić źródłami, pozostawiam pod dysputę czytających - czyli może ktoś jest w temacie i coś o tym słyszał.
Z całą pewnością jednak słyszałem o wykorzystaniu schematu Kaprekara w kryptografii. Używa się go w wielopoziomowych metodach kryptograficznych, które wykorzystują tzw. szyfrogramy. Faktycznie można wtedy użyć schematu Kaprekara w oparciu, o który zbudujemy graf skierowany między stanami przejść kolejnych liczb, który posłuży do budowy szyfrogramu². Co ciekawe schemat dwucyfrowy jak pokazują ostatnie badania³, jest bardzo blisko związany z liczbami pierwszymi Mersenna, o których pisałem tutaj: https://www.fcbarca.com/la-rambla/dyskusja-14921627#comment-14921628
Drugie zastosowanie to analiza zbieżności metod numerycznych. Jeżeli metoda numeryczna będzie powodować zbliżanie się wartości do stałej Kaprekara, to na zasadzie przechodniości musi być też zbieżna. Jest więc całkiem użytecznym narzędziem analitycznym.

Źródła:
¹ - https://en.wikipedia.org/wiki/6174
² - https://patentimages.storage.googleapis.com/48/81/c4/8639bf418c2109/US11277259.pdf
³ - https://arxiv.org/pdf/2101.09708

Na koniec obiecany wcześniej dowód matematyczny wskazujący, że dla liczb czterocyfrowych musi istnieć dokładnie jedna studnia Kaprekara.
Załóżmy, że naszą liczbą jest nieznana liczba ABCD oraz mamy cyfry {a, b, c, d}, które są już posortowane, więc abcd będzie oznaczało największą liczbę, a dcba najmniejszą. Ponieważ rozwiązanie tworzy cykl, a cyfry tej liczby muszą spełniać nierówność 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 oraz mamy daną różnicę, którą możemy zapisać w odejmowaniu pod kreską jako:

 a b c d
- d c b a
 ---------‎‎-
 A B C D

to w wyniku musimy otrzymać następujące równania liniowe:
A = a - d
B = b - 1 - c = b - c - 1 [gdzie: b > c]
C = 10 + c - 1 - b = c - b + 9 [gdzie: b > c - 1]
D = 10 + d - a = d - a + 10 [gdzie: a > d]

Ponieważ jest to układ 4 równań, może on mieć 4! rozwiązań, będących permutacjami zbioru {a, b, c, d}. Na potrzeby tego uproszczonego dowodu nie będę opisywał wszystkich 24 rozwiązań, ale podam przypadek sprzecznego rozwiązania (aby wyjaśnić, jak przeprowadzić weryfikację) oraz poprawnego. Dla pozostałych 22 możliwości musicie to albo sprawdzić sami, albo po prostu uwierzyć, że równania te też będą prowadzić do sprzeczności i wśród 24 potencjalnych rozwiązań tylko jedno tego nie robi, więc jest tym właściwym.

Zacznijmy od losowego przykładu permutacji rozwiązania, które prowadzi do sprzeczności: (A,B,C,D) = (a,c,b,d)
Z równania na A: a = a - d, więc d = 0
Z sumy równań A+D: a + d = 10, więc a = 10
Jest to sprzeczne z początkowymi założeniami, gdyż: 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Zatem permutacja (a,c,b,d) nie może być tą poprawną. Analogicznie możemy wykazać podobne sprzeczności dla 22 innych niepoprawnych permutacji.

Natomiast jedynym poprawnym rozwiązaniem będzie permutacja: (A,B,C,D) = (b,d,a,c)
A: b = a - d
B: d = b - c - 1
C: a = c - b + 9
D: c = d - a + 10

Jako że jest to układ 4 równań z 4 niewiadomymi, można przez podstawienie przekształcić i rozwiązać go, co będzie prowadzić do następujących wyników:
a = 7
b = 6
c = 4
d = 1

(A,B,C,D)=(b,d,a,c)=(6,1,7,4). CKD.

@misterio proszę o oznaczenie jeśli można :)

@DragonxNF Jasne.